Hemmes mathematische Rätsel: Wie lange wächst die Bohnenranke?
© Mailson Pignata / Getty Images / iStock (Ausschnitt)
Hans pflanzt eines Tages im Morgengrauen eine Bohnenranke. Am ersten Tag wächst die Ranke um die Hälfte ihrer Länge. Am zweiten Tag wächst sie um ein Drittel ihrer Länge vom Vortag, am dritten Tag um ein Viertel ihrer Länge vom Vortag, am vierten Tag um ein Fünftel ihrer Länge vom Vortag usw. Als sie schließlich hundertmal so lang ist wie zu Anfang, hört sie auf zu wachsen. Wie viele Tage wächst die Bohnenranke?
Hat die Bohne zu Anfang die Länge x, so ist sie nach n Tagen 100x lang. Das Wachstum kann durch die Gleichung x ∙ 3/2 ∙ 4/3 ∙ 5/4 ∙ 6/5 ∙ … ∙ (n + 2)/(n + 1) = 100x beschrieben werden. Sie lässt sich zu (n + 2)/2 = 100 vereinfachen, und löst man sie nach n auf, erhält man n = 198 Tage.
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