Hemmes mathematische Rätsel: Wie lauten die ursprünglichen Zahlen?
Eine fünfstellige natürliche Zahl, die aus lauter gleichen Ziffern besteht, wird durch eine vierstellige natürliche Zahl geteilt, die auch aus lauter gleichen Ziffern besteht. Das Ergebnis ist 16, allerdings bleibt ein Rest übrig. Streicht man von den beiden Zahlen je eine Ziffer und teilt die nun nur noch vierstellige Zahl durch die nun nur noch dreistellige Zahl, erhält man wiederum das Ergebnis 16 und einen Divisionsrest. Dieser ist allerdings um 2000 kleiner als der Rest der vorherigen Division. Wie lauten die beiden ursprünglichen Zahlen?
Sind A und B die Ziffern der Dividenden und der Divisoren, gilt für die beiden ursprünglichen Zahlen 11 111A und 1111B. Daraus folgt aus der Division 11 111A = 16 · 1111B + r oder r = 11 111A – 16 · B, wobei r der Divisionsrest ist. Es gilt 0 < r < 1111B. Nach dem Streichen von jeweils einer Ziffer in jeder Zahl bekommt man die verkleinerten Zahlen 1111A und 111B. Daraus folgt aus der Division und ihrem um 2000 kleineren Rest 1111A = 16 · 111B + (r – 2000) oder r = 1111A – 16 · 1111B + 2000. Außerdem gilt 0 ≤ r – 2000 < 111B. Setzt man die beiden Gleichungen für r gleich, erhält man 11 111A – 16 · B = 1111A – 16 · 1111B + 2000, was man zu A = (8B + 1)/5 zusammenfassen kann. Fügt man für B nacheinander die neun Ziffern von 1 bis 9 ein, erhält man nur bei 3 und 8 ganzzahlige Werte für A, nämlich A = 5 und A = 13. Der zweite Fall scheidet jedoch aus, weil 13 keine Ziffer ist. Die beiden ursprünglichen Zahlen sind folglich 55 555 und 3333.
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