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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lauten die Zahlen?

Welche fünfstelligen Zahlen ABCDE sind ganzzahlige Vielfache ihrer Umkehrzahlen EDCBA?
Ein Haufen Pappkärtchen mit verschiedenen Ziffern und Rechensymbolen.

Welche fünfstelligen Zahlen ABCDE sind ganzzahlige Vielfache ihrer Umkehrzahlen EDCBA?

Dabei sind A, B, C, D und E fünf verschiedene Ziffern.

Aus den Anfangsziffern der beiden Zahlen folgt, dass A mindestens das n-fache von E ist, und E darum nur 1, 2, 3 oder 4 sein kann. Aus den Endziffern der beiden Zahlen ergibt sich, dass A · n mit der Ziffer E enden muss. Probiert man systematisch die möglichen Kombinationen für A, E und n durch, findet man nur die beiden Möglichkeiten 8BCD2 = 2DCB8 · 4 und 9BCD1 = 1DCB9 · 9.

In beiden Fällen gibt es keinen Übertrag von der zweiten Stelle auf die erste. Darum kann im ersten Fall die zweite Ziffer D der kleineren Zahl nur 0 oder 1 und im zweiten Fall nur 0 sein. Der Rest ist einfach, und man erhält als einzige Lösung 87 912 = 21 978 · 4.

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