Hemmes mathematische Rätsel: Wie muss der Würfel beschriftet werden?
Im Juli 2025 schickte mir Herbert Nell aus Herzogenrath in Nordrhein-Westfalen eine hübsche Würfelknobelei. Bei einem Spielwürfel beträgt die Summe der Augenzahlen auf sich gegenüberliegenden Seiten stets denselben Wert, den man als Würfelkonstante bezeichnet. Ein gewöhnlicher Spielwürfel trägt Augenzahlen von 1 bis 6 und hat die Würfelkonstante 7. Beschriften Sie die Seiten eines speziellen Spielwürfels so mit sechs verschiedenen Quadratzahlen, dass die Würfelkonstante möglichst klein wird.
Ist k die Würfelkonstante und sind a2, b2, c2, d2, e2 und f2 mit a < b < c < d < e < f die sechs Quadratzahlen auf dem Würfel, so gilt a2 + f2 = b2 + e2 = c2 + d2 = k. Folglich ist c ≤ f – 3 und d ≤ f – 2. Das schränkt die Würfelkonstante ein auf f2 ≤ k ≤ (f – 3)2 + (f – 2)2. Für beispielsweise f = 10 bedeutet dies 102 ≤ k ≤ 72 + 82 oder 100 ≤ k ≤ 113. Damit kann a2 + f2 nur 102 + 02, 102 + 12, 102 + 22 oder 102 + 32 sein. Überprüft man diese Fälle auch für b2, c2, d2 und e2, findet man jedoch keine Lösung. Testet man nun systematisch für f = 5, 6, 7 … nach dieser Methode alle Möglichkeiten, findet man erstmals für f = 18 eine Lösung: 12 + 182 = 62 + 172 = 102 + 152 = 325.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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