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Hemmes mathematische Rätsel: Wie muss man das Kreuzzahlrätsel ausfüllen?

Können Sie die Felder des Kreuzzahlrätsels so mit Ziffern ausfüllen, dass waagerecht und senkrecht die 2- und 3-stelligen Zahlen 11 verschiedene Primzahlen sind?
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Das populärwissenschaftliche britische Magazin »New Scientist« erscheint seit 1956 jede Woche. Ab dem 22. Februar 1979 fand man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel »Enigma« (Rätsel). Am 16. März 2013 stellte Peter Chamberlain das folgende Rätsel:

Füllen Sie die Felder des Kreuzzahlrätsels so mit Ziffern aus, dass waagerecht und senkrecht die zwei- und dreistelligen Zahlen elf verschiedene Primzahlen sind.

Keine dieser Primzahlen darf mit einer Null beginnen. Außerdem darf innerhalb keiner der fünf Zeilen, der fünf Spalten und der beiden Diagonalen eine Ziffer mehrfach vorkommen.

Die obere Primzahl in der ersten Spalte kann nur 53 oder 59 sein. Daraus folgt, dass die linke Zahl der zweite Zeile 31, 37 oder 97 sein muss. Auf den freien Felder der Diagonalen von oben links nach unten rechts müssen Endziffern von Primzahlen stehen und damit ungerade Ziffern.

Da alle Ziffern auf der Diagonalen verschieden sein müssen, kommen nur 1, 3 und 7 in Frage. Die 3 steht somit auf einem den beiden letzten Felder der Diagonalen. Nehmen wir zunächst einmal an, die linke Zahl der zweiten Zeile würde auf 7 enden. Dann kann die Zahl in der zweiten Spalte nur 743, 751 oder 761 sein, denn sie darf keine 0, keine 9 und keine Ziffer mehrfach enthalten.

Für die rechte Zahl der vorletzten Zeile und für die untere Zahl der letzten Spalte kommen nun nur die Paare (17, 73) und (37, 71) in Frage. Folglich kann linke Zahl der vorletzten Zeile keine 1, 3 oder 7 enthalten, nicht auf 9 enden und nicht mit 5 beginnen. Es bleibt also keine Möglichkeit übrig.

Folglich endet die linke Zahl der zweiten Zeile nicht auf 7, sondern auf 1, und sie ist somit 31. Damit muss die rechte Zahl der vorletzten Zeile 71 und die untere Zahl der letzte Spalte 13 sein. Da die Zahl in der zweiten Spalte nicht auf 1, 7 oder 9 enden und keine 0 enthalten darf, kann sie nur 163 oder 173 sein. Daraus folgt für die rechte Zahl der vorletzten Zeile 43 und für die untere Zahl der ersten Spalte 41. Der Rest ist einfach.

Kreuzzahlrätsel

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