Hemmes mathematische Rätsel: Wie muss man den Würfel beschriften?
Wirft man einen Würfel, so erreicht man die Zahl, die nach dem Ausrollen auf der oberen Fläche des Würfels zu sehen ist. Mit einem gewöhnlichen Würfel kann man auf diese Weise die Zahlen von 1 bis 6 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten werfen. Man könnte es aber auch anders machen. Wenn ein Würfel geworfen worden ist und auf dem Tisch liegt, kann man nicht nur die obere Fläche des Würfels sehen, sondern auch die vier Seitenflächen. Nur die untere Fläche, auf der der Würfel liegt, ist nicht zu sehen.
Nun kann man festlegen, dass die beim Wurf erreichte Zahl der Mittelwert der Zahlen auf den fünf sichtbaren Seiten ist. Liegt als beispielsweise die 3 unten, kann man die Zahlen von 1, 2, 4, 5 und 6 sehen. Ihr Mittelwert ist somit (1 + 2 + 4 + 5 + 6)/5 = 18/5, was natürlich kein besonders schönes Ergebnis ist und für ein Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel auch unbrauchbar wäre.
Wie kann man die sechs Flächen anders als gewöhnlich beschriften, so dass man beim Würfeln nach dieser Mittelwertsmethode trotzdem die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, und 6 erhält? Die Zahlen auf dem Würfel dürfen ganze Zahlen oder Brüche sein und sie dürfen auch positiv oder negativ sein.
Auf den sechs Seiten des Würfels stehen, der Größe nach geordnet, die Zahlen a, b, c, d, e und f. Liegt der Würfel mit der größten Zahl f nach unten, beträgt der Mittelwert der Zahlen auf den anderen fünf Flächen 1. Liegt stattdessen die zweitgrößte Zahl e unten, erhöht sich der Mittelwert der anderen fünf Zahlen auf 2.
Folglich ist die Differenz der Zahlen f und e genau 5. Liegt nun die drittgrößte Zahl d unten, erhöht der Mittelwert der anderen fünf Zahlen auf 3, was bedeutet, das auch die Differenz der Zahlen e und d genau 5 ist. Dies gilt auch alle anderen vier Paare benachbarter Zahlen: Die größere Zahl ist immer um 5 größer als die kleinere.
Da der Mittelwert der fünf kleinsten Zahlen auf dem Würfel 1 ergeben muss, gilt 1 = (a + b + c + d + e)/5 = (a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20))/5 = a + 10, was sich zu a = –9 umformen lässt.
Die sechs Zahlen auf den Würfelflächen sind somit –9, –4, 1, 6, 11 und 16. Man kann einen solchen Würfel statt mit Zahlen auch mit Augen versehen, indem man die Vorzeichen Plus und Minus wie die Beträge auf Kontoauszügen durch die Farben Schwarz und Rot ausdrückt.
Diese Würfel sind nicht nur eine mathematische Spielerei, man kann sie tatsächlich kaufen. Die Firma Trick Dice in Inverness in Schottland stellt sie her und vertreibt sie weltweit unter dem Namen Hemme Dice.
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