Hemmes mathematische Rätsel: Wie oft muss die Kette mindestens zerschnitten werden?
Eine Klammerkette besteht aus n öffnenden und n schließenden Klammern in ganz zufälliger Reihenfolge. Zwei Beispiele für n = 6 sind
( ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) )
und
( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( .
Das erste Beispiel ist algebraisch gültig, denn zwischen den Klammern könnten klammerlose Terme stehen und dadurch einen korrekten mathematischen Ausdruck darstellen. Beim zweiten Beispiel ist dies nicht der Fall. Allein schon die beiden öffnenden Klammern am Ende der Kette sind inkorrekt.
Wie oft muss man im allgemeinen Fall eine Kette aus n öffnenden und n schließenden Klammern mindestens zwischen zwei Klammern zerschneiden und die Kettenteile vertauschen, so dass eine algebraisch gültige Kette entsteht?
Es reicht immer aus, die Kette höchstens einmal zu zerschneiden und die Teile zu vertauschen. Wir stellen uns die Klammerkette als Treppe vor, bei der jede öffnende Klammer eine Stufe nach oben und jede schließende Klammer eine Stufe nach unten darstellt. Da die Zahl der öffnenden und schließenden Klammern gleich groß ist, liegt das Ende der Treppe auf der gleichen Höhe wie ihr Anfang. Schneiden wir die Treppe auf der untersten Stufe – oder wenn es mehrere unterste Stufen gibt, auf einer der untersten Stufen – durch und vertauschen die beiden Treppenteile, kann es nirgendwo mehr eine Stufe geben, die unterhalb der Höhe der ersten und letzten Stufe liegt. Dadurch werden auch die entsprechenden öffnenden Klammern stets korrekt durch schließende Klammern wieder geschlossen, und es ist eine algebraisch gültige Kette entstanden. Das Bild zeigt ein Beispiel.
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