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Hemmes mathematische Rätsel: Wie schnell ist der Teich mit 5 geöffneten Kanälen gefüllt?

5 Kanäle führen in einen Teich. Der erste allein füllt ihn nach 1/3 Tag, der zweite nach 1 Tag, der dritte in 2,5 Tagen, der vierte in 3 und der fünfte in 5 Tagen.
Wasser vor Hintergrund.

»Neun Bücher arithmetischer Technik« ist der Titel eines alten chinesischen Rechenbuchs, das über zwei Jahrtausende lang immer wieder neu aufgelegt wurde. Es soll von Chang Tsang um 150 v. Chr. nach älteren Vorlagen verfasst und von Keng Shu Chang um 60 v. Chr. erweitert worden sein. In diesem Buch erschien zum ersten Mal das berühmte Zuflussproblem.

In einen Teich führen fünf Kanäle. Öffnet man nur den ersten Kanal, ist der Teich nach einem Drittel Tag gefüllt. Öffnet man jedoch nur den zweiten Kanal, so ist er nach einem Tag gefüllt. Der dritte Kanal alleine kann den Teich in zweieinhalb, der vierte in drei und der fünfte in fünf Tagen füllen. Wie lange dauert es, bis der Teich gefüllt ist, wenn alle fünf Kanäle gleichzeitig geöffnet werden?

Pro Tag fließen durch den ersten Kanal 3 Teichinhalte, durch den zweiten 1, durch den dritten 2/5, durch den vierten 1/3 und durch den fünften 1/5. Sind alle fünf Kanäle geöffnet, so fließen insgesamt pro Tag 3 + 1 + 2/5 + 1/3 + 1/5 = 74/15 Teichinhalte. Folglich ist der Teich nach 15/74 Tag gefüllt, wenn alle Kanäle offen sind.

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