Hemmes mathematische Rätsel: Wie stehen die Oberflächen der Skulpturen zueinander?
Das heutige Rätsel hat mir der Architekt Karl Flormann aus Bielefeld im August 2020 zugeschickt. Das Bild hat sein Sohn Jan Flormann aus Oerlinghausen am Computer generiert.
In einem Park stehen zwei Skulpturen nebeneinander. Die eine besteht aus zwei halben und drei ganzen Kugeln, die den gleichen Durchmesser haben. Die zweite Skulptur ist ein Zylinder und genauso hoch wie die erste. Ihre Grund- und ihre Deckfläche haben den gleichen Durchmesser wie die Kugeln der ersten Figur.
Man sieht schon auf dem ersten Blick, dass die erste Skulptur ein deutlich kleineres Volumen hat als die zweite. Doch wie ist es mit den Oberflächen? In welchem Verhältnis steht die Oberfläche der ersten Skulptur zu der der zweiten Skulptur?
Die Grund- und Deckflächen zählen dabei mit zu den Oberflächen. Dass die Kugeln der ersten Skulptur an den Stellen, an denen sie sich berühren, etwas abgeflacht sein müssen, damit sie sich überhaupt montieren lassen, soll dabei unberücksichtigt bleiben.
Die Oberfläche der ersten Skulptur setzt sich auch vier Kugeloberflächen und zwei Kreisflächen von Radius r zusammen. Sie beträgt folglich A1 = 4 · 4πr2 + 2 · πr2 = 18πr2.
Die Oberfläche zweiten Skulptur besteht aus der Mantelfläche der Höhe 8r und zwei Kreisflächen vom Radius r. Sie beträgt somit A2 = 8r · 2πr + 2 · πr2 = 18πr2. Die beiden Skulpturen haben also gleich große Oberflächen.
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