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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel Geld hatte der Kaufmann am Anfang?

Er investiert alles und bekommt die Hälfte dazu, setzt wieder alles und erhält ein Drittel mehr, ... und das neun Mal, bei dem er ein Zehntel hinzu gewinnt. Nun hat er 100 Dinar.
Kinderhand mit Münzen und Sparschwein

Einer der bedeutendsten arabischen Mathematiker des 10. Jahrhunderts war Abu al-Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlidisi. Über sein Leben ist nichts bekannt. 952 hat er in Damaskus ein Buch geschrieben, das älteste erhaltene Werk über die indische Arithmetik in arabischer Sprache. Daraus stammt die folgende Aufgabe.

Ein Kaufmann investiert sein Geld in einen Handel, der die Hälfte des eingesetzten Kapitals als Gewinn abwirft. Der Mann macht mit seinem nun vergrößerten Kapital ein zweites Geschäft, bei dem der Gewinn ein Drittel des Einsatzes ist. Bei einem dritten Handel setzt der Kaufmann wiederum sein ganzes Geld ein und gewinnt ein Viertel dazu. Nach diesem Muster läuft der Handel des Mannes weiter, bis er schließlich bei seinem neunten Geschäft ein Zehntel seines Einsatzes gewinnt. Nun besitzt der Kaufmann 100 Dinar. Wie groß war sein ursprüngliches Kapital?

Wenn der Kaufmann zu Anfang das Kapital a0 hatte, so besaß er nach dem ersten Handel a1 = a0 + a0/2 = 3/2 · a0.

Nach dem zweiten Geschäft war diese Summe auf a2 = a1 + a1/3 = 4/3 · a1 = 4/3 · 3/2 · a0 angewachsen und nach dem dritten Schritt auf a3 = a2 + a2/4 = 5/4 · a2 = 5/4 · 4/3 · 3/2 · a0.

Nach diesem Muster geht es nun weiter, so dass der Kaufmann nach dem neunten Handel a9 = 11/10 · 10/9 · 9/8 · 8/7 · 7/6 · 6/5 · 5/4 · 4/3 · 3/2 · a0 = 11/2 · a0 besitzt.

Dies sollen 100 Dinar sein: 11/2 · a0 = 100. Löst man die Gleichung nach a0 auf, erhält man ein Anfangskapital von 18211 Dinar.

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