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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel Prozent aller Monate haben vier Wochenzeilen?

Bei monatlichen Wandkalendern sind die Tage des Monats üblicherweise wochenweise in mehreren Zeilen angeordnet. Wie viel Prozent bestehen aus vier Wochenzeilen?
Im Kalender steht ein Fragezeichen

In Internet findet man eine Denksportseite mit dem Namen Knobelforum. Sie wurde 2004 von dem Informatiker Marc-Oliver Scheele gegründet und enthält knapp 20 000 Knobeleien. Im Mai 2009 habe ich dort folgendes Rätsel vorgestellt:

Bei Wandkalendern, die für jeden Monat ein Blatt haben, sind die Blätter meistens nach dem gleichen Muster aufgeteilt: Im oberen Teil jedes Blatts ist ein Bild zu sehen, und im unteren Teil sind die Tage des Monats wochenweise in mehreren Zeilen aufgelistet. Je nachdem, wie viele Tage der Monat hat und mit welchem Wochentag er beginnt, hat er vier, fünf oder – wie im August 2021 – sechs Wochenzeilen, und der Platz für das Kalenderbild ist mal größer und mal kleiner.

Angenommen, der Gregorianische Kalender würde beliebig lange gültig bleiben. Wie viel Prozent aller Monate hätten dann vier Wochenzeilen?

Nur das Kalenderblatt eines Februars, der in einem Gemeinjahr liegt und mit einem Montag beginnt, kommt mit vier Wochenzeilen aus. Das war in diesem Jahr der Fall. Nach einem Gemeinjahr springt der Wochentag des 1. Februars um einen Tag weiter und nach einem Schaltjahr um zwei Tage.

Im Gregorianischen Kalender sind alle Jahre, deren Zahlen durch vier teilbar sind, Schaltjahre. Davon ausgenommen sind jedoch die Jahre, deren Zahlen zwar durch 100, nicht aber durch 400 teilbar sind. Alle 400 Jahre wiederholt sich darum die gleiche Abfolge von Gemein- und Schaltjahren. In einer solchen gregorianischen Periode gibt es also 303 Gemein- und 97 Schaltjahre. Sie ist somit 400 · 365 + 97 = 146097 Tage lang oder genau 146097/7 = 20871 Wochen. Folglich wiederholt sich auch der Wochentagsrhythmus alle 400 Jahre. Darum brauchen wir für unsere Untersuchung nur einen beliebigen Zeitraum von 400 Jahren zu betrachten.

Nun können wir uns, ausgehend vom Jahr 2021 bis 1901 zurück- und bis 2300 vorhangeln. Das ist wesentlich weniger mühsam, als es auf dem ersten Blick aussieht. Denn es gibt einen 28-jährigen Rhythmus, der nur durch die fehlenden Schalttage der Jahre 2100 und 2200 unterbrochen wird. Dort muss man ein wenig aufpassen. Insgesamt gibt es 43 geeignete Februare.

Somit haben 43/4800 ≈ 0,8958% aller Monate ein Kalenderblatt mit vier Wochenzeilen.

Kalenderblätter

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