Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel Prozent der Fläche deckt der Halbkreis ab?
Presh Talwalkar hat Mathematik und Wirtschaftswissenschaften an der Stanford University in Kalifornien in den USA studiert. Er hat einige Bücher über mathematische Knobeleien geschrieben, darunter das im Jahr 2015 erschienene dreibändige Werk »Math Puzzles«. Presh Talwalkar betreibt auch im Internet seit 2007 den Denksport-Blog »Mind Your Decisions« mit inzwischen vielen tausend Beiträgen. Am 3. Juli 2024 stellte er seinen Leserinnen und Lesern auf seiner Seite ein geometrisches Problem, das er in einer etwas einfacheren Form auf der Lernplattform Cuemath entdeckt hatte.
In einem Viertelkreis liegt ein Halbkreis. Die beiden Figuren berühren sich an drei Punkten. Der Mittelpunkt des Viertelkreises und der untere Punkt der Halbkreisgrundlinie haben den Abstand 1 voneinander. Wie viel Prozent der Viertelkreisfläche deckt der Halbkreis ab?
D ist der Mittelpunkt der Strecke AB, und damit auch der Mittelpunkt des blauen Halbkreises. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. Ergänzt man den Halbkreis zum Vollkreis, muss folglich nach dem Satz des Thales die rechtwinklige Ecke B des Dreiecks ABC auf seinem Umfang liegen. Somit ist die Strecke DB ein Radius des Vollkreises. Der Vollkreis und der Viertelkreis berühren sich im Punkt E. Deshalb müssen der Vollkreisradius r = DE und der Viertelkreisradius R = BE aufeinanderfallen. Somit gilt r = 1/2R. Die Fläche des blauen Halbkreises beträgt 1/2πr2 und die des Viertelkreises 1/4πR2. Folglich deckt der Halbkreis 1/2πr2/(1/4πR2) = 2r2/R2 = 1/2R2/R2 = 1/2 = 50 Prozent der Viertelkreisfläche ab. Dass die Strecke BC die Länge 1 hat, wird zur Lösung der Aufgabe gar nicht benötigt.
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben