Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel Prozent können höchstens abgedeckt werden?
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks wird durch seinen Inkreis nur unvollständig abgedeckt. Setzt man statt des Inkreises eine »dreieckige« Anordnung aus 3, 6, 10 oder allgemein n(n + 1)/2 gleichen Kreisen in das Dreieck, wächst der abgedeckte Teil der Dreiecksfläche. Wie viel Prozent der Dreiecksfläche können die Kreise höchstens einnehmen?
Liegen in dem gleichseitigen Dreieck in der untersten Reihe n Kreise, enthält es insgesamt n(n + 1)/2 Kreise. Sie bilden 3n Lücken, die die Dreiecksseiten berühren, und (n – 1)2 Lücken im Dreiecksinneren. Die Zahl der Randlücken wächst also linear mit n und die der Innenlücken quadratisch mit n. Wenn die Zahl der Kreise auf unendlich zugeht, kann man darum die Randlücken vernachlässigen und braucht nur noch die Innenlücken zu betrachten. Jede Innenlücke wird von drei Kreisen vom Radius r umschlossen, deren Mittelpunkte auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 2r und der Fläche r2 √3 liegen. Das Dreieck schneidet aus jedem Kreis ein Sechstel heraus. Folglich bedecken die Kreise 1/2πr2/(r2 √3) = 1/2π/√3 der Dreiecksfläche, und damit auch im Grenzfall der Fläche des äußeren Dreiecks.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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