Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel Wasser passt in den Kanister?
1970 gründeten die beiden bekannten russischen Wissenschaftler Andrei N. Kolmogorov und Isaak K. Kikoyin die Zeitschrift »Kvant«, in der von Fachautoren auf anschauliche Weise über aktuelle Themen der Mathematik und der Physik für ein breites Publikum geschrieben wird. Die Zeitschrift wurde ein so großer Erfolg, dass ab 1990 auch eine amerikanische Ausgabe mit dem Titel »Quantum« erschien, die neben Übersetzungen aus der russischen Ausgabe auch eigene Artikel publizierte. Leider blieb der amerikanischen Ausgabe der Erfolg der russischen versagt, so dass sie nach elf Jahren wieder eingestellt wurde. Eine französische Ausgabe von »Kvant« gab es nicht, aber eine ganze Reihe von Artikeln der Zeitschrift wurde ins Französische übersetzt und zu zwei Büchern zusammengefasst. Alle russischen Ausgaben der Zeitschrift sind übrigens kostenlos im Internet unter der Adresse kvant.mccme.ru zugänglich. In »Quantum« erschienen auch zahlreiche mathematische Rätsel. 1996 stellte Timothy Weber hundert dieser Knobeleien aus der Zeitschrift zu einem Buch zusammen, das dann unter dem Titel »Quantum Quandaries« in Arlington in den USA erschien. Die Kopfnuss dieser Woche ist ein Rätsel, das im Mai/Juni-Heft 2000 von »Quantum« veröffentlicht wurde.
Max beginnt gleichzeitig, mit zwei Schläuchen zwei Kanister mit Wasser zu füllen. Durch den ersten Schlauch fließen 2,9 Liter pro Minute und durch den zweiten 8,7 Liter pro Minute. Als der kleinere Kanister genau halb voll ist, tauscht Max die beiden Schläuche und hält nun den ersten Schlauch in den zweiten Kanister und den zweiten Schlauch in den ersten Kanister. Beide Kanister sind gleichzeitig voll. Wie viel Wasser fasst der große Kanister, wenn in den kleinen 12,6 Liter passen?
Es gibt zwei Möglichkeiten. Entweder hält Max den Schlauch mit der geringeren Durchflussrate zuerst in den kleineren oder zuerst in den größeren Kanister. Betrachten wir zunächst die erste Möglichkeit. Es dauert in diesem Fall 1/2 · 12,6/2,9 = 6,3/2,9 Minuten, den kleinen Kanister halb zu füllen. In der Zeit laufen (6,3/2,9) · 8,7 Liter Wasser in den großen Kanister. Nun dauert es noch 6,3/8,7 Minuten, um die zweite Hälfte des kleinen Kanisters zu füllen, und ebenso lange, um den großen Kanister vollständig zu füllen. In dieser Zeit laufen (6,3/8,7) · 2,9 Liter Wasser in den großen Kanister. Folglich passen (6,3/2,9) · 8,7 + (6,3/8,7) · 2,9 = 21 Liter Wasser in den großen Kanister. Im zweiten Fall dauert es 6,3/8,7 Minuten, den kleinen Kanister halb zu füllen. In der Zeit laufen (6,3/8,7) · 2,9 Liter Wasser in den großen Kanister. Nun dauert es noch 6,3/2,9 Minuten, die zweite Hälfte des kleinen Kanisters zu füllen, und ebenso lange, den großen Kanister vollständig zu füllen. In dieser Zeit laufen (6,3/2,9) · 8,7 Liter Wasser in den großen Kanister. Folglich passen auch in diesem Fall (6,3/8,7) · 2,9 + (6,3/2,9) · 8,7 = 21 Liter Wasser in den großen Kanister. Durch den zweiten Schlauch rinnt 8,7/2,9 = 3-mal so viel Wasser in derselben Zeit wie durch den ersten. Wenn der erste Schlauch also einen halben kleinen Kanister füllt, dann füllt der zweite Schlauch in dieser Zeit die Menge von 11/2 kleinen Kanistern in den großen Kanister. Umgekehrt, wenn der zweite Schlauch einen halben kleinen Kanister füllt, dann füllt der Schlauch 1/6 eines kleinen Kanisters in den großen Kanister. Im großen Kanister befindet sich also die Menge von 3/2 + 1/6 = 5/3 kleinen Kanistern. Da dieser am Ende voll ist, ist er also 5/3-mal so groß wie der kleine Kanister. Folglich passen 5/3 ∙ 12,6 = 21 Liter Wasser in den großen Kanister.
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