Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Augen sind sichtbar?
Der 1961 geborene Mathematiker Torsten Sillke lebt in Frankfurt am Main. Im Oktober 2025 erhielt ich von ihm eine hübsche Knobelei mit aus Spielwürfeln hergestellten Tetrakuben, die eine Verallgemeinerung einer Aufgabe aus einem Logiktest ist.
Tetrakuben bestehen aus jeweils vier gleich großen Würfeln, die über ihre Flächen miteinander verbunden sind. Dabei decken sich die Verbindungflächen immer gegenseitig vollständig ab. Es gibt insgesamt sieben verschiedene Tetrakuben. Die Tetrakuben lassen sich auch aus gewöhnlichen Spielwürfeln herstellen. Dann sind auf ihren Außenseiten Augenzahlen zu sehen. Man kann die Würfel nun so miteinander verkleben, dass die Summen der Augenzahlen auf den Außenflächen der Tetrakuben maximal werden. Wie groß ist diese maximale Augensumme für jeden einzelnen Tetrakubus?
Die Summe der Augenzahlen eines Spielwürfels beträgt 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vier Würfel haben somit eine Augensumme von 4 · 21 = 84. Die Augensumme auf zwei sich gegenüberliegenden Seiten eines Würfels beträgt immer 7. Liegen zwei sich gegenüberliegende Seiten eines Würfels im Inneren eines Tetrakubus, sind darum stets 7 Augen verdeckt. Liegt jedoch von einem Paar sich gegenüberliegender Seiten eines Würfels nur eine Seite im Inneren des Tetrakubus, so ist diese immer so klein wie möglich zu wählen.
Beim Tetrakubus A sind von den beiden inneren Würfeln jeweils 7 Augen abgedeckt. Deckt man bei den beiden Endwürfeln jeweils 1 Auge ab, so ist die maximale Augensumme dieses Tetrakubus Amax = 84 – 7 – 7 – 1 – 1 = 68. Mit entsprechenden Überlegungen erhält man Bmax = 84 – 7 – 2 – 1 – 1 – 1 = 72, Cmax = 84 – 7 – 1 – 1 – 1 – 1 = 73, Dmax = 84 – 2 – 2 – 2 – 2 – 1 – 1 – 1 – 1 = 72, Emax = 84 – 2 – 2 – 1 – 1 – 1 – 1 = 76, Fmax = 84 – 2 – 2 – 1 – 1 – 1 – 1 = 76 und Gmax = 84 – 3 – 2 – 1 – 1 – 1 – 1 = 75.
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