Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele dieser Zahlen existieren?
Im Internet gibt es zahlreiche Foren, in denen Probleme und Lösungen des mathematischen Denksports ausführlich diskutiert werden. Eines der größten und ältesten dieser Foren in deutscher Sprache ist die Newsgroup de.rec.denksport. Man findet sie unter der Adresse https://groups.google.com/g/de.rec.denksport im Internet. Die Newsgroup enthält inzwischen Tausende von Beiträgen zum Thema Denksport, und es werden täglich mehr. Die Kopfnuss dieser Woche hat jemand namens Lydia am 15. April 2006 in dieser Newsgroup veröffentlicht.
In der dreistelligen Zahl 513 und in der vierstelligen Zahl 2402 taucht die Zahl 3 beziehungsweise 4 ihrer Stellen auch als Ziffer auf. Wie viele natürliche Zahlen gibt es insgesamt, deren Stellenzahl auch mindestens eine ihrer Ziffern ist?
Als Kandidatinnen kommen nur natürliche Zahlen in Frage, die höchstens neun Stellen haben. Zählt man die 0 mit, sind dies genau eine Milliarde Zahlen. Nun sondern wir davon alle Zahlen aus, die nicht ihre Stellenzahl als Ziffer enthalten. Für jede Zahlenlänge scheidet eine Ziffer aus, beispielsweise für achtstellige Zahlen die Ziffer 8. Welche Ziffer dies konkret ist, spielt für die Berechnung der Anzahl dieser Zahlen keine Rolle. Deshalb können wir die in Frage kommenden Zahlen durch führende Nullen alle neunstellig machen. Bei den auszusondernden Zahlen können auf jeder Stelle neun verschiedene Ziffern stehen. Dadurch erhalten wir insgesamt 99 Zahlen. Folglich gibt es insgesamt 109 – 99 = 612 579 511 natürliche Zahlen, deren Stellenzahl auch als mindestens eine ihrer Ziffern auftaucht.
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