Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Dreiecke sind hier enthalten?
Wie viele Beine hat ein Esel? Die Antwort auf diese Scherzfrage für Kinder lautet: Ein Esel hat zwei Beine vorne, zwei Beine hinten, zwei Beine links, zwei Beine rechts und an jeder Ecke ein Bein, also insgesamt zwölf Beine. Die fehlerhafte Rechnung ist natürlich sehr leicht zu durchschauen, aber bei vielen Problemen ist das richtige Zählen eine wahre Kunst. Diese Kunst des Zählens wird in der Mathematik Kombinatorik genannt.
Der Mathematik-und-Physik-Lehrer Bernd Bultmann wurde 1955 in Diepholz in Niedersachsen geboren und unterrichtete bis zu seinem Renteneintritt 2022 an der Zinzendorfschule Tossens, einem kleinen Privatgymnasium an der Nordseeküste. Er ist ein sehr umtriebiger Mann: Musiker, Karnevalist, Bumerangexperte, Geocacher und Kochbuchautor. Bultmann ist auch ein begeisterter Denksportler und hat ungezählte mathematische Knobeleien erdacht. Die heutige Kopfnuss ist sein Entwurf und stammt aus dem Jahr 2024.
Wie viele Dreiecke enthält das Muster?
Jedes Dreieck wird von drei Linien begrenzt. Da das Muster aus insgesamt 15 Linien besteht, stehen für die erste Linie eines Dreiecks 15 Linien zur Auswahl, für die zweite dann nur noch 14 und für die dritte 13. Insgesamt gibt es also 15 · 14 · 13 = 2730 Möglichkeiten. Die drei Linien kann man in sechs verschiedenen Reihenfolgen auswählen, da diese aber keine Rolle spielen, sind es tatsächlich nur 2730/6 = 455 Möglichkeiten. Die drei Linien können jedoch nur dann ein Dreieck bilden, wenn sie nicht alle vom selben Eckpunkt des Musters ausgehen. An einer Ecke des Musters treffen sich 6 Linien und somit 6 · 5 · 4/6 = 20 Trios von Linien. Da das Muster drei Ecken hat, muss man von den 455 Möglichkeiten wieder 3 · 20 = 60 abziehen. Somit findet man in dem Muster insgesamt 455 – 60 = 395 Dreiecke.
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