Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Ecken hat die Fläche?
Ein bestimmtes Hexaeder hat vier dreieckige und eine viereckige Seitenfläche. Wie viele Ecken hat die sechste Fläche?
An eine n-eckige Seitenfläche eines Polyeders schließen n Nachbarflächen an. Somit hat ein Polyeder mit einer n-eckigen Fläche mindestens n + 1 Seitenflächen. Die n-eckige sechste Fläche des Hexaeders kann darum nur drei, vier oder fünf Ecken und Kanten haben. Jede Kante eines Polyeders gehört zu zwei Seiten. Folglich hat das Polyeder mit vier dreieckigen, einer viereckigen und einer n-eckigen Fläche insgesamt (4 · 3 + 1 · 4 + 1 · n)/2 = 8 + n/2 Kanten. Da die Kantenzahl natürlich nur ganzzahlig sein kann, muss n gerade sein. Folglich ist auch die sechste Fläche viereckig. Das Bild zeigt ein Beispiel für ein solches Hexaeder.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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