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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Rinder gibt es nach 18 Jahren?

Nach 3 Jahren kalbt ein Kalb erstmals – und bekommt dann jedes Jahr wieder ein Kalb, das ebenfalls nach drei Jahren erstmals und dann jährlich wieder kalbt. Wie schnell wächst die Herde an?
Schon wenige Stunden nach der Geburt müssen viele Kälber ihre Mütter verlassen.

Narayana Pandita war ein bedeutender indischer Mathematiker und lebte von 1325 bis 1400 im Norden des Subkontinents. Über sein Leben weiß man nur sehr wenig. Er ist vor allem als Autor eines Buchs über Arithmetik und Geometrie mit dem Titel »Ganita Kaumudi« aus dem Jahr 1356 bekannt, in dem man unter anderem Untersuchungen über ein etwas seltsames Problem findet.

Ein Bauer kauft sich ein frisch geborenes weibliches Kalb. Als es drei Jahre alt geworden ist, kalbt es zum ersten Mal und ab dann genau jedes Jahr einmal wieder. Alle auf dem Hof geborenen Kälber kalben auch nach drei Jahren erstmals und dann jedes Jahr ein weiteres Mal. Alle Kälber auf dem Bauernhof sind weiblich. Mit biologischen Nichtigkeiten hält sich Narayana nicht auf: Die Kühe sind unsterblich, und männliche Rinder gibt es nicht und sind zur Fortpflanzung auch nicht nötig. Wie viele Rinder leben 18 Jahre nach dem Kauf des ersten Kalbs auf dem Bauernhof?

Um uns einen Überblick zu verschaffen, erstellen wir für die ersten Jahre eine Tabelle der Tiere. Im Jahr 0 gibt es nur das frisch geborene Kalb, das der Bauer gekauft hat.

Jahr n:012345678910
Neugeborene N:10011123469
Einjährige E:01001112346
Zweijährige Z:00100111234
Muttertiere M:00011123469
alle Rinder R:11123469131928

Die Zahl der Rinder im Jahr n beträgt R(n) = N(n) + E(n) + Z(n) + M(n). Da alle Tiere nach einem Jahr ein Jahr älter geworden sind, gilt E(n + 1) = N(n), Z(n + 1) = E(n) und M(n + 1) = M(n) + Z(n). Daraus folgt M(n + 3) = M(n + 2) + Z(n + 2) = M(n + 1) + Z(n + 1) + E(n + 1) = M(n) + Z(n) + E(n) + N(n) = R(n).

Jedes Muttertier wirft jährlich ein Kalb, darum muss N(n) = M(n) sein. Folglich ist M(n + 3) = M(n + 2) + Z(n + 2) = M(n + 2) + N(n) = M(n + 2) + M(n). Somit gilt für die Rinderzahl R(n) = M(n + 2) + M(n). Daraus erhält man für n > 2 die Rekursionsformel R(n) = R(n − 1) + R(n − 3).

Nun kann man leicht Schritt für Schritt die Rinderzahlen jedes Jahres berechnen: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, … Achtzehn Jahre nach dem Kauf des ersten Kalbs leben also 595 Rinder auf dem Bauernhof.

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