Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Kugeln könnte man in der Dose unterbringen?

In einer zylindrischen Dose, die eine Innenhöhe und einen Innendurchmesser von 10 Zentimetern hat, liegt eine Kugel von 10 Zentimetern Durchmesser. Zusätzlich liegt auch noch eine kleine Kugel in der Dose, die deren Boden, deren Wand und die große Kugel berührt. Das Bild zeigt einen Längsschnitt der Dose mit den beiden Kugeln. Wie viele Kugeln, die den Durchmesser der kleinen Kugel haben, könnte man insgesamt in der Dose mit der großen Kugel unterbringen?
Hat die große Kugel den Radius R und die kleine den Radius r, so gilt für das rechtwinklige Dreieck im Längsschnitt, dessen Hypotenuse die beiden Mittelpunkte verbindet, (R + r)2 = (R – r)2 + (R – r)2. Dies kann man zur quadratischen Gleichung r2 – 6Rr + R2 = 0 vereinfachen, die die beiden Lösungen r = (3 ± 2√2)R hat. Da sich die Kugeln nicht gegenseitig durchdringen können, ist nur die Lösung r = (3 – 2√2)R sinnvoll. Im Querschnitt der Dose sieht man, dass eine kleine Kugel von der Mittelachse der Dose aus gesehen einen Winkel von 2α einnimmt. Für das rechtwinklige Dreieck im Querschnitt gilt α = arcsin(r/(R – r)) = arcsin((3 – 2√2)R/(R – (3 – 2√2)R)) = arcsin((3 – 2√2)/(2√2 – 2)) ≈ 11,95286°. Da 360°/(2α) ≈ 15,059 ist, können sowohl auf dem Boden der Dose 15 Kugeln liegen als auch unter dem Deckel. Folglich passen 30 kleine Kugeln in die Dose.
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