Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Listen gibt es?
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Einige davon sind der Mittelwert, der Median, der Modus und die Spannweite. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe dieser Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere dieser Zahlen. Wenn n aber gerade ist, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Zahl. Allerdings ist er nicht immer eindeutig. Eine Datenreihe kann mehrere Modi haben. Die Spannweite ist die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Zahl. Bei einer Liste von fünf natürlichen Zahlen ist der Mittelwert, der Median, der Modus und die Spannweite jeweils 5. Wie viele solcher Listen gibt es?
Bezeichnet man die fünf aufsteigend geordneten ganzen Zahlen mit a, b, c, d und e, so ist c = 5 der Median. Da auch der Modus 5 ist, muss wenigstens noch b oder d auch den Wert 5 haben. Der Mittelwert beträgt (a + b + c + d + e)/5 = 5 oder a + b + c + d + e = 25. Mit b = 5 oder d = 5 wird daraus a + d + e = 15 oder a + b + e = 15. Auch die Spannweite e – a beträgt 5, was e = a + 5 bedeutet. Damit ergibt sich für die Mittelwertsgleichung 2a + d = 10 oder 2a + b = 10. Für die erste Gleichung gibt es nur die Lösung a = 2 und d = 6 und für die zweite nur a = 3 und b = 4. Folglich erfüllen nur die beiden Listen (2, 5, 5, 6, 7) und (3, 4, 5, 5, 8) alle Bedingungen der Aufgabe.
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