Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Mitglieder hat der Kegelklub?
Alle Mitglieder eines Kegelklubs spielen auch Basketball, und alle, bis auf ein Mitglied, spielen auch Eishockey. Für eine Basketballmannschaft braucht man fünf und für eine Eishockeymannschaft sechs Spieler. Der Kegelklub kann aus seinen mehr als fünf Mitgliedern genauso viele verschiedene Basketballmannschaften wie Eishockeymannschaften zusammenstellen. Wie viele Mitglieder hat der Kegelklub?
Hat der Kegelklub n Mitglieder, so lassen sich daraus n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)/(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5) verschiedene Basketballmannschaften zusammenstellen. Da ein Mitglied kein Eishockey spielt, kann man aus den Mitgliedern aber nur (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)(n – 6)/(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6) verschiedene Eishockeymannschaften bilden. Diese beiden Zahlen sollen gleich sein. Es gilt also n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)/(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5) = (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)(n – 6)/(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6), was sich zu n2 – 17n + 30 = 0 zusammenfassen lässt. Die quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen n = 2 und 15. Da aber der Kegelklub mehr als fünf Mitglieder hat, müssen es 15 sein.
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