Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Zwei davon sind der Mittelwert und der Median. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe dieser Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere dieser Zahlen. Wenn n aber gerade ist, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, fünf verschiedene natürliche Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 8 zu wählen, so dass der Mittelwert dieser Zahlen gleich ihrem Median ist?
Sind a, b, c, d und e die fünf Zahlen in aufsteigender Reihenfolge, soll der Median c auch der Mittelwert sein. Da die fünf natürlichen Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 8 stammen, kann der Median nur 3, 4, 5 oder 6 sein. Für den Mittelwert gilt (a + b + c + d + e)/5 = c oder a + b = 4c – (d + e). Weil d + e höchstens 7 + 8 = 15 sein kann, ist a + b mindestens 4c – 15. Außerdem ist a + b höchstens (c – 2) + (c – 1) = 2c – 3. Folglich gilt 4c – 15 ≤ a + b ≤ 2c – 3. Setzt man nun für c die möglichen Werte ein, erhält man die Möglichkeiten für a + b, und damit auch für d + e. Daraus ergeben sich die zehn Lösungen (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 4, 5, 8), (1, 2, 4, 6, 7), (1, 3, 4, 5, 7), (2, 3, 4, 5, 6), (1, 4, 5, 7, 8), (2, 3, 5, 7, 8), (2, 4, 5, 6, 8), (3, 4, 5, 6, 7) und (4, 5, 6, 7, 8).
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