Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele nicht mehr kürzbare Brüche gibt es?
Die folgende Aufgabe hat Bernd Bultmann aus Butjadingen erdacht. Wie viele nicht mehr kürzbare Brüche, deren Nenner nicht größer als 99 sind, liegen zwischen 4/99 und 5/99? Zähler und Nenner aller Brüche müssen natürliche Zahlen sein.
Für die Brüche mit den Zählern z und den Nennern n gilt 4/99 < z/n < 5/99. Da der Nenner nicht größer als 99 werden darf, kann der Zähler nicht größer als 4 werden, weil sonst die Ungleichung z/n < 5/99 verletzt würde. Mit z = 4 erhält man 4/99 < 4/n < 5/99 oder 80 ≤ n ≤ 98 und damit die neunzehn Brüche von 4/98 bis 4/80, die aber noch zum Teil durch 2 oder 4 gekürzt werden können. Mit z = 3 bekommt man 4/99 < 3/n < 5/99 oder 60 ≤ n ≤ 74 und damit die fünfzehn Brüche von 3/74 bis 3/60, von denen sich 3/72, 3/69, 3/66, 3/63 und 3/60 durch 3 kürzen lassen und damit Brüche ergeben, die auch schon mit z = 4 entstanden sind. Die Zähler z = 2 und z = 1 ergeben keine weiteren Brüche, da sie schon alle durch Kürzen der Brüche mit z = 4 entstanden sind. Somit gibt es insgesamt 19 + 15 – 5 = 29 nicht mehr kürzbare Brüche.
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