Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Paare sitzen an dem Tisch?
Einige Ehepaare halten eine Séance ab. Dafür sitzen alle um einen runden Tisch, wobei immer zwischen zwei Männern eine Frau sitzt und zwischen zwei Frauen ein Mann. Dafür gibt es eine ganze Reihe möglicher Anordnungen. Irgendwann beschließen die Paare, dass nicht mehr unbedingt Männer und Frauen in der Sitzfolge abwechseln müssen. Dadurch verzehnfacht sich die Zahl der möglichen Anordnungen der Teilnehmer. Wie viele Paare halten diese Séance ab? Drehungen der gesamten Anordnungen zählen dabei nicht als verschieden.
Wenn n Paare an der Séance teilnehmen und Männer und Frauen in der Sitzfolge abwechseln, gibt es für beide Geschlechter jeweils (n – 1)! Anordnungen. Es gibt n Möglichkeiten, welcher Mann links neben einer bestimmten Frau sitzen kann. Dadurch erhält man insgesamt n ∙ (n – 1)! ∙ (n – 1)! = n! ∙ (n – 1)! Sitzordnungen. Wird die Geschlechterfolge bei der Sitzordnung aufgehoben, beträgt die Zahl der Sitzordnungen (2n – 1)!. Da diese Zahl das Zehnfache der ursprünglichen ist, gilt 10 ∙ n! ∙ (n – 1)! = (2n – 1)!. Wie man nun leicht überprüfen kann, ist für n < 3 die linke Seite der Gleichung größer als die rechte, für n = 3 sind beide Seiten gleich groß, und für n > 3 ist die linke Seite stets kleiner als die rechte. Die Séance wird also von drei Paaren abgehalten.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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