Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Palindrome dieser Art gibt es?
Die folgende Kopfnuss erhielt ich im August 2025 von Simone Falk-Hiller aus Reppenstedt in Niedersachsen.
Palindrome sind positive ganze Zahlen, die von links nach rechts gesehen die gleiche Ziffernfolge haben wie von rechts nach links. Einige Beispiele sind 3, 55, 272 und 9889. Wie viele Palindrome gibt es, die kleiner sind als 10 000 und deren Quersummen Primzahlen sind?
Die ein-, zwei-, drei- und vierstelligen Palindrome haben die Formen A, AA, ABA und ABBA, und damit die Quersummen A, 2A, 2A + B und 2(A + B). Die einstelligen Lösungen sind somit die einstelligen Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Die zwei- und vierstelligen Lösungen haben gerade Quersummen, die deshalb nur die Primzahl 2 sein können. Folglich gibt es nur die beiden Lösungen 11 und 1001. Da die Quersumme einer dreistelligen Zahl nicht größer sein kann als 3 · 9 = 27 und nur die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23 nicht größer als 27 sind, findet man die dreistelligen Lösungen leicht durch eine systematische Suche.
101, 111, 131, 151, 191,
212, 232, 272, 292,
313, 353, 373,
434, 454, 494,
515, 535, 575, 595,
616, 656, 676,
737, 757, 797,
818, 838, 878,
919, 959
Somit gibt es insgesamt 36 Palindrome, die kleiner sind als 10 000 und deren Quersummen Primzahlen sind.
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