Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele positive ganze Zahlen benötigt man hier mindestens?
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Drei davon sind der Mittelwert, der Median und der Modus. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe dieser Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere dieser Zahlen. Wenn n aber gerade ist, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Zahl. Allerdings ist er nicht immer eindeutig. Eine Datenreihe kann mehrere Modi haben.
Wie viele positive ganze Zahlen, die einen eindeutigen Modus haben sollen, benötigt man mindestens, damit Mittelwert < Median < Modus gilt?
Sind alle n Zahlen gleich, sind auch der Modus, der Median und der Mittelwert gleich, was aber nicht erlaubt ist. Da der Modus eindeutig sein soll, muss mindestens eine Zahl mehrfach auftreten. Für n = 3 und a < b gibt es folglich nur die beiden Möglichkeiten (a, a, b) und (a, b, b). Da dann aber der Modus und der Median beide gleich sind, scheidet dieser Fall aus. Mit a < b < c gibt es für n = 4 die fünf Möglichkeiten (a, a, a, b), (a, b, b, b), (a, a, b, c), (a, b, b, c) und (a, b, c, c).
Die erste, zweite und vierte Möglichkeit scheiden aus, weil dann der Modus und der Median gleich sind. Auch die dritte Möglichkeit kommt nicht in Frage, weil dort der Modus kleiner ist als der Median und der Mittelwert. Bei der fünften Möglichkeit ist der Modus = c, der Median = (b + c)/2 und der Mittelwert = (a + b + 2c)/4. Beispielsweise erfüllen die vier Zahlen (1, 5, 7, 7) die geforderten Bedingungen: Mittelwert = 5, Median = 6 und Modus = 7.
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