Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele positive ganze Zahlen werden in der Aufgabe benötigt?
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Drei dieser Kennzahlen sind der Mittelwert, der Median und der Modus. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe dieser Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere dieser Zahlen. Wenn n aber gerade ist, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Zahl. Allerdings ist er nicht immer eindeutig. Eine Datenreihe kann mehrere Modi haben.
Wie viele positive ganze Zahlen, die einen eindeutigen Modus haben sollen, benötigt man mindestens, damit Modus < Mittelwert < Median gilt?
Sind alle n Zahlen gleich, sind auch der Modus, der Median und der Mittelwert gleich, was aber nicht erlaubt ist. Da der Modus eindeutig sein soll, muss mindestens eine Zahl mehrfach auftreten. Für n = 3 und a < b gibt es folglich nur die beiden Möglichkeiten (a, a, b) und (a, b, b). Da dann aber der Modus und der Median beide gleich sind, scheidet dieser Fall aus. Mit a < b < c gibt es für n = 4 die fünf Möglichkeiten (a, a, a, b), (a, b, b, b), (a, a, b, c), (a, b, b, c) und (a, b, c, c).
Die erste, zweite und vierte Möglichkeit scheiden aus, weil dann der Modus und der Median gleich sind. Auch die fünfte Möglichkeit kommt nicht in Frage, weil dort der Modus größer ist als der Median und der Mittelwert. Bei der dritten Möglichkeit ist der Modus = a, der Mittelwert = (2a + b + c)/4 und der Median = (a + b)/2. Da der Mittelwert kleiner sein soll als der Median, gilt (2a + b + c)/4 < (a + b)/2, was sich zu c < b zusammenfassen lässt.
Dies ist aber ein Widerspruch. Deshalb muss n > 4 sein. Mit a < b < c < d kommen für n = 5 die Möglichkeiten (a, a, a, a, b), (a, a, a, b, b), (a, a, b, b, b), (a, b, b, b, b), (a, a, a, b, c), (a, b, b, b, c), (a, b, c, c, c), (a, a, b, c, d), (a, b, b, c, d), (a, b, c, c, d) und (a, b, c, d, d) in Frage. Für (a, a, b, c, d) ist der Modus = a, der Median = b und der Mittelwert = (2a + b + c + d)/5. Beispielsweise erfüllen die fünf Zahlen (1, 1, 5, 6, 7) die geforderten Bedingungen: Modus = 1, Mittelwert = 4 und Median = 5.
Hat Ihnen dieses Rätsel gefallen? Dann rätseln Sie doch einfach direkt weiter:
- Die wievielte Karte ist am wahrscheinlichsten das erste Ass?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschwister eineiige Zwillinge sind?
- Wie gewinnt man garantiert im Lotto?
- Ziegenproblem: Erhöht ein Wechsel die Gewinnchance?
- Dornröschen-Problem: Welche Wahrscheinlichkeit hat der Münzwurf?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass immer mehr Frauen als Männer im Raum sind?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna häufiger als Britta »Kopf« wirft?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlenwerte der Karten höher werden?
- Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Mannschaft alle Spiele gewinnt?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Quersumme der Zahlen 7 ist?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze Kopf zu werfen?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Zahl durch 5 teilbar?
Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben