Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele positive Zahlen braucht man hier mindestens?
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Drei davon sind der Mittelwert, der Median und der Modus. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe dieser Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere dieser Zahlen. Wenn n aber gerade ist, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Zahl. Allerdings ist er nicht immer eindeutig. Eine Datenreihe kann mehrere Modi haben.
Wie viele positive Zahlen, die einen eindeutigen Modus haben sollen, benötigt man mindestens, damit Median < Mittelwert < Modus gilt?
Sind alle n Zahlen gleich, sind auch der Median, der Mittelwert und der Modus gleich, was aber nicht erlaubt ist. Da der Modus eindeutig sein soll, muss mindestens eine Zahl mehrfach auftreten. Für n = 3 gibt es folglich nur die Möglichkeiten (a, a, b) und (a, b, b). Da dann aber der Modus und der Median beide gleich sind, scheidet dieser Fall aus. Mit a < b < c gibt es für n = 4 die fünf Möglichkeiten (a, a, a, b), (a, b, b, b), (a, a, b, c), (a, b, b, c) und (a, b, c, c).
Die erste, zweite und vierte Möglichkeit scheiden aus, weil dann der Modus und der Median gleich sind. Auch die dritte Möglichkeit kommt nicht in Frage, weil dort der Modus kleiner ist als der Median und der Mittelwert. Bei der fünften Möglichkeit ist der Median = (b + c)/2, der Mittelwert = (a + b + 2c)/4 und der Modus = c.
Da der Median kleiner sein soll als der Mittelwert, gilt (b + c)/2 < (a + b + 2c)/4, was sich zu b < a zusammenfassen lässt. Dies ist aber ein Widerspruch. Deshalb muss n > 4 sein. Mit a < b < c < d kommen für n = 5 die Möglichkeiten (a, a, a, a, b), (a, a, a, b, b), (a, a, b, b, b), (a, b, b, b, b), (a, a, a, b, c), (a, b, b, b, c), (a, b, c, c, c), (a, a, b, c, d), (a, b, b, c, d), (a, b, c, c, d) und (a, b, c, d, d) in Frage.
Für (a, b, c, d, d) ist der Median = c, der Mittelwert = (a + b + c + 2d)/5 und der Modus = d. Beispielsweise erfüllen die fünf Zahlen (1, 2, 3, 7, 7) die geforderten Bedingungen: Median = 3, Mittelwert = 4 und Modus = 7.
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