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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Quadratzahlen dieser Art gibt es?

Gibt es Quadratzahlen, die wieder eine Quadratzahl ergeben, wenn man ihre Quersumme von ihnen abzieht?
Ein Haufen Pappkärtchen mit verschiedenen Ziffern und Rechensymbolen.

»Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk«, sagte der bekannte Mathematiker Leopold Kronecker (1823–1891). Das heutige Rätsel, das sich 2021 Uwe Hansmeier aus Düren ausgedacht hat, befasst sich nur mit Gottes Zahlen.

Zieht man von einer Quadratzahl ihre Quersumme ab, entsteht eine kleinere Zahl. Gibt es Quadratzahlen, bei denen diese kleinere Zahl auch wieder eine Quadratzahl ist? Wenn ja, wie viele und welche sind es?

Oder gibt es sogar unendlich viele Quadratzahlen mit dieser Eigenschaft?

Die 0 soll dabei nicht als Quadratzahl gelten.

Das Quadrat einer natürlichen Zahl a ist um a2 − (a − 1)2 größer als das Quadrat ihrer Vorgängerin a − 1. Diese Differenz lässt sich zu 2a − 1 vereinfachen. Sie wird also mit zunehmender Größe von a auch immer größer.

Die kleinste vierstellige Quadratzahl ist 322 = 1024. Sie ist um 63 größer als ihre Vorgängerin 312 = 961. Da eine vierstellige Zahl höchstens die Quersumme 4 · 9 = 36 haben kann, erhält man bei keiner vierstelligen Quadratzahl, wenn man sie um ihre Quersumme verkleinert, wieder eine Quadratzahl.

Das gilt auch für alle Quadratzahlen mit mehr als vier Stellen. Beispielsweise ist die kleinste fünfstellige Quadratzahl 1002 = 10000 um 199 größer als ihre Vorgängerin 992 = 9801. Fünfstellige Zahlen können aber höchstens die Quersumme 5 · 9 = 45 haben. Bei den dreistelligen Quadratzahlen ist erst die 152 = 225 um mehr als 3 · 9 = 27 größer als ihre Vorgängerin.

Die Zahlen von 12 bis 142 lassen sich nun noch schnell überprüfen, und man findet nur für 42 und 72 Lösungen: 16 − (1 + 6) = 9 = 32 und 49 − (4 + 9) = 36 = 62.

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