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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Rechtecke enthält ein Schachbrett?

Wie viele Rechtecke lassen sich in einem Quadrat aus 64 Feldern finden?
Schachfiguren

Frank Morley (1860–1937) erfand mehr als 50 Jahre lang unterhaltsame mathematische Rätsel für die »Educational Times« und andere Zeitschriften. Einige seiner Probleme, wie das berühmte Morley-Dreieck, gehören noch heute zu den Klassikern der Unterhaltungsmathematik. Im Jahre 1886 stellte er als erster die Frage: Wie viele Rechtecke enthält ein Schachbrett?

Ein Schachbrett besteht aus 64 Feldern. Die Ränder der Felder bilden Rechtecke verschiedener Größen, die sich auch überlappen können. Quadrate sind spezielle Rechtecke und müssen auch mitgezählt werden. Die Schachbrettrechtecke können also aus 1×1, 1×2, 2×2, 2×3 bis zu 8×8 Feldern bestehen.

Jedes Paar von horizontalen Linien bildet zusammen mit jedem Paar von vertikalen Linien ein Rechteck. Ein Schachbrett hat 9 horizontale Linien. Jede von ihnen kann mit jeder der 8 anderen Linien ein Paar bilden. Es gibt somit 9 · 8 = 72 horizontale Linienpaare, bei der jede Linie einmal die erste und einmal die zweite ist.

Da die Reihenfolge der Linien aber keine Rolle spielt, hat man jedes Paar doppelt gezählt. Folglich gibt es nur 36 verschiedene Paare von horizontalen Linien. Entsprechend enthält das Rechteck auch 36 Paare von vertikalen Linien. Somit kann man 36 · 36 = 1296 Rechtecke auf einem Schachbrett finden.

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