Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Seiten eines konvexen Polyeders müssen dreieckig sein?
Bei einem konvexen Polyeder treffen an jeder Ecke genau vier Kanten zusammen. Mindestens wie viele seiner Seitenflächen müssen dreieckig sein?
Hat ein Polyeder e Ecken, f Flächen und k Kanten, gilt nach dem Eulerschen Polyedersatz e + f = k + 2. Da sich an jeder Ecke vier Kanten treffen, und jede Kante zwei Ecken verbindet, muss 4e = 2k oder e = k/2 sein. Setzt man das in den Polyedersatz ein, wird daraus k/2 + f = k + 2 oder f = k/2 + 2.
Sind genau d Flächen dreieckig und damit auch dreikantig, so haben f − d Flächen mindestens vier Ecken und vier Kanten. Da jede Kante zu zwei Flächen gehört, gilt 3d + 4(f − d) ≤ 2k, was sich zu f ≤ k/2 + d/4 umformen lässt. Auch dies wird in den Polyedersatz eingesetzt und ergibt k/2 + d/4 ≥ k/2 + 2 oder d ≥ 8. Ein Beispiel für d = 8 ist das regelmäßige Oktaeder.
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