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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Seitenflächen gibt es?

Würfel

Von zwei Spielwürfeln, die nicht unbedingt kubisch sein müssen, hat jeder mindestens sechs Seitenflächen. Auf beiden Spielwürfeln sind die Flächen mit Augenzahlen von 1 bis zur jeweiligen Flächenzahl beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit, mit den beiden Würfeln zusammen eine Augensumme von 7 zu werfen, ist 3/4 der Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 10 zu werfen, und die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 12 zu werfen, beträgt 1/12. Wie viele Flächen haben die beiden Spielwürfel?

Angenommen, die beiden Spielwürfel haben m und n Flächen, wobei mn sein soll. Da beide Würfel mindestens sechs Flächen haben und damit auch mindestens die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 tragen, gibt es genau die sechs Möglichkeiten 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 und 6 + 1, mit einem Wurf die Augensumme 7 zu erreichen. Folglich muss es 4/3 ∙ 6 = 8 Möglichkeiten geben, die Augensumme 10 zu werfen. Haben beide Würfel mindestens neun Seiten, gibt es neun Möglichkeiten, die Augensumme 10 zu würfeln.

Um genau acht Möglichkeiten für die Augensumme 10 zu haben, muss m = 8 und n ≥ 9 sein: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, 7 + 3 und 8 + 2. Gibt es k Möglichkeiten, die Augensumme 12 zu werfen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür k/(mn) = 1/12. Da m = 8 ist, vereinfacht sich der Ausdruck zu k/(8n) = 1/12 oder n = 3/2k. Außerdem folgt aus m = 8, dass k ≤ 8 sein muss, was wiederum zu n ≤ 12 führt. Weil n wegen n = 3/2k ein Vielfaches von 3 sein muss, kommen nur n = 9 und n = 12 in Frage. Beide Werte liefern korrekte Wahrscheinlichkeiten. Folglich hat der eine Würfel acht und der andere neun oder zwölf Flächen.

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