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Rätseln mit Eder: Wie viele solcher vierstelligen Zahlen gibt es?

2136 hat eine besondere Eigenschaft: Addiert man die ersten drei Ziffern, ist die Summe so groß wie die letzte Ziffer der Zahl, also 6.
Vierstellige Zahl

Die Zahl 2136 hat eine besondere Eigenschaft. Addiert man die ersten drei Ziffern, dann ist der Wert dieser Summe so groß wie die letzte Ziffer der Zahl:

2 + 1 + 3 = 6

Wie viele solcher vierstelligen Zahlen gibt es?

Es gibt 165 vierstellige Zahlen mit dieser besonderen Eigenschaft.

Erklärung

Für die letzte Ziffer der Zahl kommen die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in Frage. Die Null kann als Summenwert ausgeschlossen werden, denn die Tausender Ziffer darf nicht null sein.

Für den Summenwert 1 gibt es genau eine Zahl, die die Bedingung erfüllt: 1001.
Für den Summenwert 2 gibt es genau drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1102; 1012; 2002.
Für den Summenwert 3 gibt es genau sechs Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1113; 1023; 1203; 2103; 2013; 3003.
Für den Summenwert 4 gibt es genau zehn Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1124; 1214; 1304; 1034; 2114; 2204; 2024; 3104; 3014; 4004

Jetzt fehlen noch die Zahlen mit den Summenwerten 5, 6, 7, 8 und 9. Natürlich lassen sich alle Werte einzeln bestimmen und aufschreiben. Eine Formel für die einzelnen Summenwerte erleichtert die Lösung:

S(x) = 0,5x2 + 0,5x

Setzt man für x beispielsweise den Summenwert 4 ein, erhält die Anzahl der möglichen vierstelligen Zahlen mit dem Summenwert 4, nämlich 10.

Die Gesamtzahl aller möglichen vierstelligen Zahlen mit dieser Eigenschaft erhält man, wenn für die Zahl 9 in die folgende Formel eingesetzt wird:

G = (1/6)x3 + (1/2)x2 + (1/3)x

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