Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Sprünge braucht der Frosch?
Auf drei Ecken eines Quadrates sitzt je ein Frosch. Jeder beliebige Frosch kann nun über jeden beliebigen anderen Frosch hinweghüpfen. Dabei landet er auf einem Punkt, der genauso weit hinter dem überhüpften Frosch liegt, wie der Punkt, von dem er abgesprungen ist, vor diesem liegt. Alle Sprünge werden nacheinander gemacht und keine gleichzeitig. Ist es möglich, dass irgendwann einer der drei Frösche auf der zu Anfang freien Ecke des Quadrates sitzt? Und wenn ja, wie viele Sprünge sind dafür mindestens notwendig?
Angenommen, die drei Frösche sitzen zu Anfang in einem x-y-Koordinatensystem auf den Positionen (0, 0), (1, 0) und (0, 1), dann können sie durch ihre Sprünge nur auf Plätze gelangen, die auf den Ecken eines quadratischen Rasters der Seitenlänge 1 liegen. Hüpft ein Frosch, der am Ort (x, y) sitzt, über einen Frosch am Ort (a, b), so landet er am Punkt (2a – x, 2b – y). Die Paritäten seiner Koordinaten ändern sich also nicht durch den Sprung, d. h., eine gerade Koordinate bleibt gerade und eine ungerade Koordinate bleibt ungerade. Jeder der drei Frösche hat zu Anfang wenigstens eine gerade Koordinate, die freie Ecke aber hat zwei ungerade Koordinaten. Folglich kann kein Frosch jemals diese Ecke erreichen.
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