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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Steine braucht man mindestens?

Mit einer Balkenwaage soll jedes ganzzahlige Gewicht von einem Pfund bis hin zu 29 524 Pfund gewogen werden können. Als Gewichtsstücke dienen Steine, die auf beide Waagschalen gelegt werden dürfen. Wie viele Steine braucht man dafür mindestens?
Waage

Abu Dschafar Muhammed ibn Ayyub at-Tabari lebte im 11. Jahrhundert. In seinem Buch »Schlüssel der Transaktionen« findet man ein seit dem 14. Jahrhundert auch im Abendland bekanntes Wägeproblem.

Mit einer Balkenwaage soll jedes ganzzahlige Gewicht von einem Pfund bis hin zu 29 524 Pfund gewogen werden können. Als Gewichtsstücke dienen Steine, die auf beide Waagschalen gelegt werden dürfen. Wie viele Steine braucht man dafür mindestens und welche Gewichte sollten sie haben?

At-Tabari hatte das Problem für seine Leser etwas vereinfacht. Sie sollten einen Steinsatz finden, mit dem man jedes Gewicht bis nur maximal 10 000 Pfund abwägen können sollte. Er gab aber eine Lösung an, die alle Gewichte bis 29 524 Pfund ermöglicht.

Bei einer austarierten Balkenwaage ist das Gesamtgewicht der Gewichtssteine genauso groß wie das des Wägeguts. Dabei werden die Gewichte in der Schale, in der auch das Wägegut liegt, negativ gerechnet und die in der anderen Schale positiv. Der erste Stein hat ein Gewicht von 30 = 1 Pfund. Damit lässt sich natürlich nur das Gewicht 1 Pfund bilden.

Der nächste Stein ist 31 = 3 Pfund schwer. Zusammen mit dem ersten Stein lassen sich durch Abziehen, Weglassen und Hinzuzählen 31 weitere Gewichte bilden: 2 = 3 − 1, 3 = 3 und 4 = 3 + 1.

Der dritte Stein wiegt 32 = 9 Pfund. Mit den ersten beiden Steinen lassen sich wiederum durch Abziehen, Weglassen und Hinzuzählen 32 weitere Gewichte bilden: 5 = 9 − 3 − 1, 6 = 9 − 3, 7 = 9 − 3 + 1, 8 = 9 − 1, 9 = 9, 10 = 9 + 1, 11 = 9 + 3 − 1, 12 = 9 + 3 und 13 = 9 + 3 + 1.

Nach diesem Muster geht es weiter. Um alle Gewichte von 1 Pfund bis hin zu 29 524 Pfund bilden zu können, braucht man zehn Steine, die 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729, 37 = 2187, 38 = 6561 und 39 = 19683 Pfund schwer sind.

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