Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Straßenverbindungen gibt es?
Die drei Großstädte Aburg, Bestadt und Ceberg sind durch ein dichtes Straßennetz miteinander verbunden. Zwischen Aburg und Bestadt gibt es 82 verschiedene Straßenverbindungen einschließlich der, die über Ceberg führen. Zwischen Bestadt und Ceberg gibt es 62 verschiedene Verbindungen einschließlich der, die über Aburg führen. Und zwischen Aburg und Ceberg gibt es weniger als 300 Verbindungen einschließlich der, die über Bestadt führen. Wie viele sind es genau?
Ist i die Zahl der Direktverbindungen zwischen Aburg und Bestadt, j die zwischen Bestadt und Ceberg und k die zwischen Aburg und Ceberg, dann gibt es insgesamt i + jk = 82 Verbindungen zwischen Aburg und Bestadt und j + ik = 62 Verbindungen zwischen Bestadt und Ceberg. Die erste Gleichung, nach i aufgelöst, ergibt i = 82 – jk. Sie wird in die zweite Gleichung eingesetzt. Dadurch erhält man j + (82 – jk)k = 62, was sich zu umformen lässt. Für k = 2, 3 und 11 bekommt man j = 34, 23 und 7. Für alle anderen Werte von k erhält man keine ganzzahligen Werte für j. Daraus ergibt sich direkt i = 14, 13 und 5. Die Zahl der Verbindungen zwischen Aburg und Ceberg ist k + ij und kann folglich 478, 302 und 46 betragen. Da die Zahl aber unter 300 liegen muss, kommt nur 46 in Frage.
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