Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele überglückliche Zahlen gibt es?
In vielen Ländern gilt die 7 als Glückszahl. Man bezeichnet sie dort auch häufig als glückliche Zahl. Die überglücklichen Zahlen hingegen sind weitgehend unbekannt. Sie haben die Eigenschaft, das Siebenfache ihrer Quersumme zu sein. Wie viele und welche überglücklichen Zahlen gibt es?
Die Quersumme einer n-stelligen Zahl kann höchstens 9n betragen. Die kleinste n-stellige Zahl ist 10n – 1. Da für n ≥ 4 immer 10n – 1 > 7 · 9n ist, kann es keine überglücklichen Zahlen mit mehr als drei Stellen geben. Für die dreistelligen überglücklichen Zahlen mit den Ziffern A, B und C gilt 100A + 10B + C = 7(A + B + C), was man zu 31A + B = 2C zusammenfassen kann. Falls A ≥ 1 ist, hat die Gleichung keine Lösung. Folglich ist A = 0, und die überglücklichen Zahlen sind höchstens zweistellig. Es gilt somit 3B = 6C oder B = 2C. Daraus ergeben sich als einzige überglückliche Zahlen 21, 42, 63 und 84.
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