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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele unglückliche Zahlen gibt es?

Eine unglückliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die das 13-fache ihrer Quersumme ist. Wie viele unglückliche Zahlen gibt es?
Schwarze Zahlen auf weißem Hintergrund

Eine unglückliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die das Dreizehnfache ihrer Quersumme ist. Wie viele unglückliche Zahlen gibt es?

Einstellige unglückliche Zahlen kann es nicht geben, da sie unmöglich das Dreizehnfache ihrer Quersumme sein können. Damit eine zweistellige Zahl BA unglücklich ist, muss 10B + A = 13(B + A) gelten, was sich zu 3B + 12A = 0 vereinfachen lässt. Da aber A und B positiv sind, kann die Gleichung nicht richtig sein, und es gibt folglich keine unglücklichen zweistelligen Zahlen.

Eine dreistellige Zahl CBA ist unglücklich, wenn 100C + 10B + A = 13(C + B + A) gilt, was man zu 29C = B + 4A zusammenfassen kann. Da B + 4A höchstens 45 sein kann, muss C = 1 sein. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu 29 = B + 4A. Sie hat nur die drei Lösungen (B, A) = (1, 7), (5, 6) und (9, 5). Somit sind von allen dreistelligen Zahlen nur 117, 156 und 195 unglücklich.

Eine n-stelligen Zahl ist mindestens 10n − 1 groß. Ihre Quersumme hingegen kann höchstens 9n betragen. Das Dreizehnfache ihrer Quersumme kann folglich 13 · 9n = 117n nicht überschreiten. Für n ≥ 4 ist aber stets 117n < 10n − 1.

Folglich gibt es keine unglücklichen Zahlen mit mehr als drei Stellen.

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