Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene pythagoreische Tripel mit Kathete 45 gibt es?
Der in Aachen lebende Mathematiker Aloys Krieg wurde 1955 in Ostbevern in Westfalen geboren. Im Juli 2025 veröffentlichte er in der Aachener Zeitung das folgende Rätsel.
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c gilt nach dem Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2. Eine besondere Gruppe unter den rechtwinkligen Dreiecken bilden die Dreiecke, bei denen a, b und c positive ganze Zahlen sind. Man nennt dann die drei ganzzahligen Seitenlängen eines solchen Dreiecks ein pythagoreisches Tripel. Das bekannteste pythagoreische Tripel bilden die Zahlen 3, 4 und 5, denn es gilt 32 + 42 = 52. Die Zahl des letzten Jahres ist eine Besonderheit, weil sie mit 452 = 2025 eine Quadratzahl ist. Nur die mindestens 90-Jährigen unter uns haben zuvor schon einmal eine quadratische Jahreszahl erlebt.
Wie viele verschiedene pythagoreische Tripel gibt es, bei denen die Kathete a die Länge 45 hat?
Drei positive ganze Zahlen a, b und c bilden ein pythagoreisches Tripel, wenn a2 + b2 = c2 ist. Mit a = 45 ergibt sich 452 + b2 = c2, was man zu 2025 = c2 – b2 oder 2025 = (c – b)(c + b) umformen kann. Mit den Abkürzungen v = c + b und u = c – b lässt sich diese Gleichung auf 2025 = uv reduzieren. Subtrahiert und addiert man die beiden Abkürzungen, erhält man b = (v – u)/2 und c = (v + u)/2. Da 2025 = 34 · 52 ist, sind die Faktorenpaare uv leicht zu finden: 2025 = 1 · 2025 = 3 · 675 = 5 · 405 = 9 · 225 = 15 · 135 = 25 · 81 = 27 · 75. Mit den beiden Gleichungen für b und c erhält man dann die Lösungen 452 + 10122 = 10132, 452 + 3362 = 3392, 452 + 2002 = 2052, 452 + 1082 = 1172, 452 + 602 = 752, 452 + 282 = 532 und 452 + 242 = 512. Mehr als diese sieben Lösungen kann es nicht geben.
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