Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene Dreiecke hat das Zehneck?
Ein regelmäßiges Zehneck, in das alle Diagonalen eingezeichnet worden sind, enthält eine große Zahl von Dreiecken, von denen sich die meisten auch überlappen. Wie viele verschiedene Formen können diese Dreiecke haben? Dabei gelten zwei Dreiecke als unterschiedlich geformt, wenn sie nicht ähnlich sind.
Ein regelmäßiges Zehneck hat einen Umkreis. Das bedeutet, über jede Zehneckseite ist der Mittelpunktswinkel 360°/10 = 36° groß, und alle Umfangswinkel darüber sind 36°/2 = 18° groß. Folglich sind alle Winkel zwischen Seiten und Diagonalen eines regelmäßigen Zehnecks Vielfache von 18°. Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° = 10 · 18° beträgt, kann es in dem Zehneck nur Dreiecke mit den Winkelsummen A = (1 + 1 + 8) · 18°, B = (1 + 2 + 7) · 18°, C = (1 + 3 + 6) · 18°, D = (1 + 4 + 5) · 18°, E = (2 + 2 + 6) · 18°, F = (2 + 3 + 5) · 18°, G = (2 + 4 + 4) · 18° und H = (3 + 3 + 4) · 18° geben. Die Form eines Dreiecks wird ausschließlich von der Größe seiner drei Winkel bestimmt, wobei ihre Reihenfolge keine Rolle spielt. Alle Formen von A bis H kommen auch tatsächlich in dem Zehneck vor. Das Bild zeigt jeweils ein Beispiel. Die Dreiecke können somit acht verschiedene Formen haben.
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