Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene Münzen gibt es?
Der Mathematiker, Physiker und Bauingenieur Karl Jakob Dienst aus Aachen wurde 1943 in Flörsheim am Main geboren. Von 1983 bis zum Eintritt in seinen Ruhestand lehrte er Mathematik an der FH Aachen. Karl Jakob Dienst starb am 30. April 2025. Nur wenige Tage vor seinem Tod erhielt ich von ihm das folgende kleine Münzproblem.
Opa möchte seinem Enkel zum Geburtstag Geld schenken. Dazu hat er ein Blumenbild gemalt, bei dem die Blüten aus aufgeklebten Münzen im Gesamtwert von 50 Euro und 1 Cent bestehen. Die Hälfte der Blüten hat sechs, die andere Hälfte sieben oder acht Blätter. Eine sechsblättrige Blüte besteht aus sieben gleichen Münzen, von denen eine Münze in der Mitte sitzt und von den sechs anderen Münzen umringt wird. Da die Eurowährung acht verschiedene Münzen hat, gibt es auch acht verschiedene sechsblättrige Blüten. Bei einer sieben- oder achtblättrigen Blüte liegt um eine Zwei-Euro-Münze ein Ring von sieben Zwei-Cent-Münzen oder von acht Ein-Cent-Münzen. Die Zwei-Cent-Münzen sind zwar für den Ring ein wenig zu klein und die Ein-Cent-Münzen eine Winzigkeit zu groß, aber das stört in dem Bild nicht. Jede der zehn Blütenarten kommt auf dem Bild mindestens einmal vor. Wie viele Münzen jeder Sorte hat Opa auf das Blumenbild geklebt?
Um Nachkommastellen zu vermeiden, rechnen wir alle Geldbeträge in Cent. Die acht verschiedenen Münzen haben einen Gesamtwert von 388 Cent, und daher ist 7 · 388 = 2716 Cent der Wert aller acht verschiedenen sechsblättrigen Blüten. Zusammen mit der siebenblättrigen Blüte im Wert von 214 Cent und der achtblättrigen im Wert von 208 Cent erhält man 2716 + 214 + 208 = 3138 Cent als Wert für alle zehn verschiedenen Blüten. Es fehlen also zum Geschenkwert noch 5001 – 3138 = 1863 Cent. Diese müssen auf n sechsblättrige und 6 + n mehrblättrige Blüten verteilt werden, damit deren Anzahlen gleich sind. Für n = 0 kommen höchstens 6 · 214 = 1284 Cent hinzu, was aber zu wenig ist. Für n ≥ 3 hingegen kommen mindestens 9 · 208 = 1872 Cent hinzu, was aber zu viel ist.
Folglich kann n nur 1 oder 2 sein. Sind im Fall n = 1 von den sieben mehrblättrigen Blüten m siebenblättrig und 7 – m achtblättrig, dann bleiben für die sechsblättrige Blüte 1863 – 214m – 208(7 – m) = 407 – 6m Cent übrig. Da der Wert ein Vielfaches von 7 sein muss, kommt nur m = 6 in Frage. Dies ergibt 371 = 7 · 53 Cent. Da es aber keine 53-Cent-Münze gibt, kann n nicht 1 sein. Für n = 2 sind von den acht mehrblättrigen Blüten m siebenblättrig und 8 – m achtblättrig. Dann bleiben für die beiden sechsblättrigen Blüten 1863 – 214m – 208(8 – m) = 199 – 6m Cent übrig. Nur für m = 4 ist das ein Vielfaches von 7. Dies ergibt 175 = 25 · 7 = (5 + 20) · 7. Für alle Blüten zusammen werden somit folgende Münzen benötigt: 47× 1 Cent, 42× 2 Cent, 14× 5 Cent, 7× 10 Cent, 14× 20 Cent, 7× 50 Cent, 7× 1 Euro und 17× 2 Euro.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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