Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene Summen von Stammbrüchen gibt es?
Im Januar 2026 veröffentlichte der Mathematiker Aloys Krieg in der Aachener Zeitung das folgende Rätsel.
Brüche der Form 1/n mit einer 1 im Zähler und einer natürlichen Zahl n im Nenner heißen Stammbrüche. Weil sie schon vor 5000 Jahren im alten Ägypten verwendet wurden und die Grundlage der ägyptischen Zahlschrift bildeten, nennt man sie auch häufig ägyptische Brüche. Man kann natürlich jede positive rationale Zahl als Summe von Stammbrüchen schreiben, aber nicht unbedingt nur auf eine Weise. So ist beispielsweise 2/7 = 1/7 + 1/7 oder aber auch 2/7 = 1/4 + 1/28. Auf wie viele verschiedene Weisen kann man den Stammbruch 1/p, wobei p eine Primzahl ist, als Summe zweier Stammbrüche 1/a + 1/b schreiben?
Weil in der Gleichung 1/p = 1/a + 1/b alle drei Variablen positiv sind, müssen sowohl a > p als auch b > p sein. Die Gleichung lässt sich durch Herausmultiplizieren der Nenner zu ab – ap – bp = 0 umformen. Addiert man p2 auf beiden Seiten der Gleichung, ergibt sich ab – ap – bp + p2 = p2 oder (a – p)(b – p) = p2. Folglich sind a – p und b – p Teiler von p2. Da p eine Primzahl ist, können dies nur 1, p oder p2 sein. Dies führt zu den drei Lösungen (a, b) = (p + 1, p(p + 1)), (a, b) = (2p, 2p) und (a, b) = (p(p + 1), p + 1). Somit gibt es, von der Vertauschung der Summanden abgesehen, nur die beiden Möglichkeiten 1/p = 1/(2p) + 1/(2p) und 1/p = 1/(p + 1) + 1/(p(p + 1)), einen Primzahl-Stammbruch als Summe zweier Stammbrüche zu schreiben.
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