Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich hier bilden?
Bilden Sie siebenstellige Zahlen, die jeweils jede Ziffer von 1 bis 7 einmal enthalten. Dazu beginnen Sie auf irgendeinem der sieben Kreise und gehen dann von dort aus weiter über die anderen sechs Kreise. Dabei muss jeder Kreis, den Sie betreten, direkter Nachbar des vorherigen Kreises sein. Die siebenstellige Zahl ergibt sich aus der Abfolge der Kreisziffern. Wie viele verschiedene siebenstellige Zahlen lassen sich auf diese Weise bilden?
Der Ring aus den sechs äußeren Kreisen kann um den mittleren Kreis in sechs verschiedene Lagen gedreht werden, ohne dass sich an dem Bild etwas ändert. Deshalb gibt es nur drei prinzipiell unterschiedliche Wege, das Kreismuster zu durchlaufen. Im ersten Muster kann man mit jedem der sieben Kreise beginnen und dann den Weg jeweils in zwei Richtungen durchlaufen. Das führt zu 6 ∙ 7 ∙ 2 = 84 unterschiedlichen siebenstelligen Zahlen. Im zweiten Muster durchläuft man, im oberen Kreis startend, zwei Außenkreise im Uhrzeigersinn, dann den Mittelkreis und schließlich vier Außenkreise gegen den Uhrzeigersinn. Möglich ist aber auch das Spiegelbild: im oberen Kreis starten, zwei Außenkreise gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, dann den Mittelkreis und schließlich vier Außenkreise im Uhrzeigersinn. Beide Wege können aber auch umgekehrt durchlaufen werden. Dies führt zu 6 ∙ 2 ∙ 2 = 24 verschiedenen siebenstelligen Zahlen. Im letzten Muster durchläuft man, im oberen Kreis startend, drei Außenkreise im Uhrzeigersinn, dann den Mittelkreis und schließlich noch einmal drei Außenkreise gegen den Uhrzeigersinn. Möglich ist aber auch das Spiegelbild. Wegen der 180°-Drehsymmetrie liefert ein umgekehrtes Durchlaufen der Wege keine zusätzlichen Zahlen. Dadurch bekommt man nur 6 ∙ 2 = 12 verschiedene siebenstellige Zahlen. Insgesamt kann man mit den sieben Kreisen 84 + 24 + 12 = 120 verschiedene siebenstellige Zahlen erzeugen.
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