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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele W20-Würfel gibt es?

Wie viele verschiedene Würfel mit 20 Seiten gibt es, wenn sich die gegenüberliegenden Seiten stets zu 21 ergänzen müssen?
Brennender W20-Würfel
Spielwürfel können auch reguläre Ikosaeder sein, die 20 gleichseitige Dreiecke als Flächen haben. Ihre Seitenflächen tragen dann die Zahlen von 1 bis 20, und die Zahlen auf sich gegenüberliegende Seiten ergänzen sich stets zu 21. Wie viele verschiedene solcher ikosaedischen Würfel sind unter diesen Bedingungen möglich?

Wir bauen die Lösung systematisch auf und legen einen unbeschrifteten ikosaedischen Würfel auf den Tisch. Auf die oberste Fläche schreiben wir nun die 1. Nun müssen wir die 20 auf die unterste Fläche schreiben, damit die Summe der Zahlen auf den beiden sich gegenüberliegenden Fläche 21 ergibt. Für die 2 stehen jetzt noch 18 Flächen zur Auswahl.

Haben wir uns für eine Fläche entschieden, müssen wir die 19 auf die gegenüberliegende Fläche schreiben. Jetzt stehen für die 3 nur noch 16 Flächen zur Auswahl.

Nach diesem Muster geht es weiter: Wir haben für die 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 eine immer kleiner werdende Auswahl von Flächen. Die Flächen für die Ergänzungen 17, 16, 15, 14, 13, 12 und 11 zu 21 liegen damit jedes Mal fest. Somit gibt es N = 18 · 16 · 14 · 12 · 10 · 8 · 6 · 4 · 2 Möglichkeiten, das Ikosaeder zu beschriften.

Wir haben jedoch jede Möglichkeit dreifach gezählt, denn wenn man das Ikosaeder um 120 oder 240 Grad um seine senkrechte Achse dreht, geht es in sich selbst über. Somit gibt es tatsächlich nur N/3 = 61 931 520 verschiedene ikosaedische Würfel.

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