Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Würfel gibt es?
Ein Würfel hat acht Ecken und sechs viereckige Flächen. Schreibt man auf die Würfelecken Zahlen, so nennt man die Summe der Zahlen auf den vier Ecken einer Fläche deren Flächenzahl. Verteilt man die Zahlen von 1 bis 8 so auf die Ecken eines Würfels, dass alle Flächenzahlen gleich sind, erhält man einen magischen Eckenwürfel. Wie viele verschiedene magische Eckenwürfel gibt es, wenn gespiegelte und gedrehte Muster als gleich zählen?
Die Summe der Zahlen von 1 bis 8 ergibt 36. Da jede der acht Ecken zu drei Flächen gehört, beträgt die Gesamtsumme aller sechs Flächenzahlen 3 ∙ 36 = 108. Also hat jede Fläche eine Flächenzahl von 108/6 = 18. Man kann sie durch acht verschiedene Kombinationen bilden, die sich zu vier Paaren zusammenstellen lassen, die jeweils alle Zahlen von 1 bis 8 enthalten.
1. (1, 2, 7, 8) und (3, 4, 5, 6)
2. (1, 3, 6, 8) und (2, 4, 5, 7)
3. (1, 4, 5, 8) und (2, 3, 6, 7)
4. (1, 4, 6, 7) und (2, 3, 5, 8)
Die beiden Kombinationen eines Paares können nur auf sich gegenüberliegenden Seiten des Würfels liegen. Da es aber nur sechs Seiten gibt, kann ein Paar nicht vorkommen. In jeder der jeweils ersten Kombinationen der ersten drei Paare kommt sowohl die 1 als auch die 8 vor. Deshalb können nicht alle drei Kombinationen zusammen Seiten des Würfels bilden. Folglich muss das vierte Paar auf jeden Fall auf dem Würfel vorkommen. Das Weglassen jeweils eines der ersten drei Paare ergibt immer genau eine Lösung.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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