Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Zahlen dieser Art gibt es?
Die neunstellige Zahl 716 238 459 enthält jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal. Außerdem sind die Ziffern von 1 bis 5 in ihr von links nach rechts aufsteigend geordnet, die Ziffern von 1 bis 6 hingegen nicht. Wie viele verschiedene Zahlen mit diesen Eigenschaften gibt es?
Wir bauen die gesuchten Zahlen schrittweise auf und beginnen mit neun leeren Stellen. Für die 9 stehen insgesamt neun Stellen zur Auswahl, danach bleiben für die 8 noch acht freie Stellen, anschließend für die 7 sieben Stellen und schließlich für die 6 sechs Stellen. Folglich gibt es 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 verschiedene Anordnungen der Ziffern von 6 bis 9 in der Zahl. Die Plätze für die Ziffern von 1 bis 5 liegen, da sie aufsteigend geordnet sein sollen, für jede dieser Anordnungen eindeutig fest. Bei diesen 3024 verschiedenen Zahlen sind die Zahlen mitgezählt, bei denen die Ziffern von 1 bis 6 aufsteigend geordnet sind. Sie müssen darum wieder abgezogen werden. Bei einer Zahl, die zu Anfang neun freie Stellen hat, kann man die Ziffern von 9, 8 und 7 auf 9 · 8 · 7 = 504 verschiedene Weisen anordnen. Anschließend liegen die Plätze der Ziffern von 1 bis 6 eindeutig fest. Folglich gibt es insgesamt 3024 – 504 = 2520 Zahlen mit den geforderten Eigenschaften.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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