Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Zahlen haben diese Eigenschaft?
Nimmt man eine natürliche Zahl und fügt eine 1 einmal an ihr Ende und einmal an ihren Anfang, so entstehen zwei neue Zahlen, von denen die erste dreimal so groß ist wie die zweite. Wie viele ganze Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 102024 haben diese Eigenschaft?
Ist die (n + 1)-stellige Zahl N eine Zahl mit der geforderten Eigenschaft, gilt 10N + 1 = 3(10n + N). Dies kann man zu 7N = 3 ∙ 10n – 1 umformen. Die Zahlen auf der rechten Gleichungsseite sind 2, 29, 299, 2999, 29 999 … Sie müssen durch 7 teilbar sein. Die kleinste durch 7 teilbare Zahl darunter ist die sechsstellige Zahl 299 999. Da die kleinste durch 7 teilbare Zahl, die nur aus Neunen besteht, 999 999 ist, sind die weiteren durch 7 teilbaren Zahlen 299 999 999 999, 299 999 999 999 999 999 … Die Zahlen verlängern sich also jeweils um sechs Neunen und sind folglich alle 6k-stellig. Weil die Zahlen höchstens 2024 Stellen haben können und 2024/6 = 3371/3 ist, gibt es in dem Bereich von 1 bis 102024 insgesamt 337 Zahlen mit der geforderten Eigenschaft.
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