Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Zahlen sind gesucht?
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Für wie viele verschiedene ganze Zahlen n ist auch n/(1000 – n) eine ganze Zahl?
Löst man die Gleichung m = n/(1000 – n) nach n auf, erhält man n = 1000m/(m + 1). Da 1000 = 2353 ist, ergibt der Bruch 1000m/(m + 1) eine ganze Zahl, wenn m + 1 einen der sechzehn positiven Werte 2050 = 1, 2150 = 2, 2250 = 4, 2350 = 8, 2051 = 5, 2151 = 10, 2251 = 20, 2351 = 40, 2052 = 25, 2152 = 50, 2252 = 100, 2352 = 200, 2053 = 125, 2153 = 250, 2253 = 500 und 2353 = 1000 oder einen der entsprechenden negativen Werte annimmt. Der Bruch m/(m + 1) ergibt nur für m + 1 = ±1 eine ganze Zahl. Dies ist aber schon im ersten Bruch enthalten. Somit gibt es insgesamt 32 verschiedene ganze Zahlen n, für die auch n/(1000 – n) eine ganze Zahl ist.
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