Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Züge werden benötigt?
Auf einem Spielbrett sind zehn Felder im Kreis angeordnet. Zu Anfang liegt der Spielstein auf dem grünen Startfeld. Mit jedem Zug wird der Stein um ein Feld im Uhrzeigersinn weitergerückt. Nur vom neunten Feld aus hat der Spieler zwei Möglichkeiten: Er kann den Stein entweder auf das grüne Startfeld ziehen oder das Startfeld überspringen und ihn direkt auf das zweite Feld vorrücken. Nach wie vielen Zügen ist es prinzipiell möglich, dass der Stein auf jedem der zehn Felder stehen könnte?
Angenommen, das Brett hat n Felder. Um das Spiel leichter zu verstehen, vereinfachen wir es aber zunächst auf nur vier Felder. Die Tabelle listet auf, auf welchen Feldern der Stein nach dem i-ten Zug stehen kann.
i Felder---------------1. 22. 33. 4 – --------------4. 1, 25. 2, 36. 3, 4 – --------------7. 1, 2, 48. 1, 2, 39. 2, 3, 4 – ---------------10. 1, 2, 3, 4
Wenn in einer Runde der Stein erstmals das letzte Feld erreichen könnte, vergrößert sich mit dem nächsten Zug die Zahl der möglichen Felder um 1. Dies ist in jeder Runde nach n – 1 Zügen der Fall. Nach n – 1 Runden sind folglich für den Spielstein n – 1 Felder möglich. Mit dem ersten Zug der n-ten Runde erhöht sich die Zahl der möglichen Felder schließlich auf n. Somit werden insgesamt (n – 1)2 + 1 Züge benötigt, damit der Stein auf jedem Feld stehen könnte. Für n = 10 sind dies 82 Züge.
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